2003 年，密西根州小鎮埃瓦特（Evart）的退休商店老闆傑瑞‧塞爾比（Gerald "Jerry" Selbee）64 歲。他在州彩券新遊戲 WinFall 的宣傳單上，看到一張中獎機率表。一張彩券 1 美元，從 1 到 49 選 6 個號碼；中 3 個號碼的機率約為 1/57，獎金 5 美元。這個遊戲還有一條規則：頭獎累積超過 500 萬美元仍沒有人中，下一期的頭獎獎金就往下分，中 3 個號碼可以領 50 美元，不再是 5 美元。
他拿筆算了一下。「我只是把它乘出來，」他後來回憶，「然後我說：『見鬼，這裡有正報酬。』」（譯文，HuffPost Highline）
第一次下注，他在梅西克（Mesick）一家便利商店買了 2,200 美元，讓電腦隨機選號，結果賠了 50 美元。下一次滾降，他買 3,400 美元，贏回 6,300 美元；再下一次投入 8,000 美元，贏回 15,700 美元。2005 年 5 月，密西根停辦 WinFall。同年 8 月，他開了大約 12 小時的車到麻州桑德蘭（Sunderland），8 月 29 日第一次玩麻州版本的 Cash WinFall，一口氣買下 6 萬張、12 萬美元的彩券。
這條規則是州彩券局自己寫的，印在公開的宣傳單上，誰都看得到。看懂它的，也不只塞爾比一個人。
彩券局要銷售額，套利者要期望值
同一條規則，兩邊各取所需。
Cash WinFall 在 2004 年上市。一張 2 美元，從 1 到 46 選 6 個號碼，中頭獎的機率約 936 萬分之一。頭獎從 50 萬美元起跳，慢慢累積到 200 萬美元左右的上限。平常中 5 個號碼領 4,000 美元，中 4 個 150 美元，中 3 個 5 美元，中 2 個送一張免費彩券。一旦頭獎碰到上限又沒人中，錢就往下分：依《波士頓環球報》（Boston Globe）的整理，中 5 個號碼變成 2 萬到 4 萬美元，中 4 個 800 到 1,000 美元，中 3 個 26 美元以上。
看懂的人很快組隊。塞爾比夫婦成立 GS Investment Strategies 有限責任公司（Limited Liability Company, LLC），把股份賣給親友與同事，成員包括律師、會計師和銀行副總。麻省理工學院（MIT）的學生哈維（James Harvey）在 2005 年 2 月找了約 50 位同學，每人出 20 美元，買了 500 張彩券試水溫，1,000 美元變成大約 3,000 美元。他們後來成立 Random Strategies Investments，名字取自學生宿舍 Random Hall。依 MIT 校刊《The Tech》報導，哈維說這個團體七年來在 Cash WinFall 下注 1,700 萬到 1,800 萬美元；監察長估計他們稅前至少賺了 350 萬美元。
州政府這一邊，算盤一樣清楚。彩券局執行長史騰伯格（Paul Sternburg）2011 年對《環球報》說：「這替我們帶來收入。」（譯文）據報導，彩券局表示這個遊戲 2011 年創造了 1,180 萬美元的利潤。
大戶買了 4,000 萬，州庫收了 1,600 萬
大戶花 4,000 萬美元，贏回約 4,800 萬，淨賺約兩成。州政府也從這 4,000 萬的銷售裡收到約 1,600 萬美元。兩邊都賺錢，多出來的獎金，主要來自平常週裡一般玩家一張一張累積起來的頭獎獎金池。
期望值：同一張彩券，換一週就換了價值
期望值（Expected Value, EV）是把每一種結果的機率乘上金額，再全部加總。46 選 6 一共有 9,366,819 種組合，各獎項的機率可以直接算出來：
| 中幾個號碼 | 機率 | 平常期望值 | 滾降獎金（假設） | 滾降期望值 |
|---|---|---|---|---|
| 5 個 | 1/39,028 | 0.10 | 25,000 | 0.64 |
| 4 個 | 1/801 | 0.19 | 800 | 1.00 |
| 3 個 | 1/47 | 0.11 | 26 | 0.55 |
| 2 個 | 1/6.8 | 0.29 | 免費彩券 | 0.29 |
| 合計（美元） | 0.69 | 2.48 |
平常一張 2 美元的彩券，小獎期望值只有約 0.69 美元，其餘要靠中獎機率極低的頭獎。到了滾降期，同一張彩券的期望值變成約 2.48 美元，報酬約 24%。把中 5 個號碼降到報導區間下緣的 2 萬美元，期望值仍約 2.35 美元，和《大西洋》月刊「每張 2 美元彩券背後至少有 2.30 美元獎金」的估計相近。期望值大於成本，而且這件事事先就算得出來，就是規則創造的套利。中 4、3 個號碼的滾降獎金取《環球報》報導區間的下緣，中 5 個取 2.5 萬美元，免費彩券以面額 2 美元計，屬教學近似，已用 Python 逐項驗算。
那一行字：過了 200 萬，錢往下流
套利的機會寫在規則裡，賺錢的難處寫在執行裡。
滾降的時間點大致可以預測，彩券局通常也會事先公告。真正的門檻是執行。依 HuffPost Highline 的長文，便利商店的彩券機一次只能印 10 張，每印一批至少要等一分鐘。塞爾比夫婦清晨 5 點半、店門還沒開就開始印，一直印到晚上 6 點，一次滾降要印 31.2 萬張，最多一次買到 36 萬張、72 萬美元。之後還要逐張對獎，輸掉的彩券一箱一箱堆起來。哈維說，那「真的是苦差事」；他的團體幾乎每年都被州與聯邦稅務機關查帳。
店家也樂在其中，每賣一張抽 5% 佣金。《環球報》發現，有一家店在瑪吉來之前一天只賣出 47 美元，她三天的採購讓老闆賺了約 1.8 萬美元佣金。後來兩家店因為讓塞爾比夫婦自己操作彩券機而被停權。
- 2004麻州推出 Cash WinFall
- 2005MIT 學生首次下注；密西根停辦，塞爾比轉戰麻州
- 2011/7《環球報》揭露；七家店每日限售 5,000 美元
- 2012/7遊戲已停辦，監察長報告出爐
彩金稀釋：大家都來套利，套利就消失
滾降的獎金池大致固定，買的人越多，每張分到的越少。用一個簡化式表示：
以 200 萬美元的獎金池計算，當期賣出 100 萬張時，每張期望值約 2.69 美元；賣到約 153 萬張就剛好打平；再多，套利就變成虧損。第一個透鏡的 2.48 美元，大約對應當期賣出 110 萬張左右。對套利者來說，最大的敵人是另一群套利者。這個算式忽略了當期銷售也會挹注獎金池，只用來說明方向。
另一種風險是有人真的中了頭獎，滾降就不會發生。塞爾比團隊碰過一次：另一位玩家選中全部 6 個號碼，他們那期賠了 36 萬美元，是九年來最大的一筆虧損。
MIT 團隊後來發現利潤率在下降，原因很簡單：競爭。他們的對策是自己製造滾降。2010 年 8 月，頭獎還沒到門檻，他們在三天半裡買下約 70 萬張、約 140 萬美元的彩券，把獎金池推過 200 萬美元，買下的張數占那一期銷售的八成以上。據估計，那一期他們賺了約 70 萬美元。這次彩券局反而虧了：依《環球報》報導，彩券局那次滾降可能損失了數十萬美元的收入。
人性：機率表人人看得到，只有少數人在算
一般玩家看的是頭獎金額，很少有人把中 3 個號碼的機率乘上獎金。依《大西洋》月刊，這個遊戲每 2 美元約有 1.20 美元會變成獎金。平常週裡買彩券的人，就是在替滾降期的獎金池存錢。這是機率忽略的另一種樣子：人會盯著最大、最難中的那個數字，忽略小機率乘上小獎金加起來的總和。
規則設計者也有盲點。《環球報》指出，彩券局用歷史銷售資料預測頭獎何時到頂，模型預料不到有人會在短短幾天內買下 70 萬張。更大的盲點是誘因。塞爾比對《環球報》說：「他們很清楚我們在做什麼。」他還回憶，2006 年春天，彩券局春田地區經理親自來跟他們握手，說全州銷售持平或下滑，「我們是他業績上升的唯一原因」（彩券局表示該經理不記得此事）。監察長報告裡還引了一封彩券局主管的電子郵件：「我退休後要怎麼加入這個俱樂部？」（譯文）銷售數字好看時，人特別容易找理由說服自己一切沒問題，這叫動機性推理（Motivated Reasoning）。
彩券局賣的是運氣，那一行規則卻把運氣變成了算術。
2012 年 7 月，麻州監察長蘇利文（Gregory Sullivan）的報告認定，大量下注是合法的，「沒有任何人中獎的機率因大量下注而受影響」，而且滾降期「對每個人都是好賭注，不只是大戶」（譯文）。報告也指出，彩券局明知這些團體的活動，回應卻很被動。州財政部長格羅斯曼（Steven Grossman）所屬的財政部在回應文件中寫道：「這些措施早該採取。」值得留意的是，監察長說的是「中獎機率」沒變；彩金稀釋影響的是每一注分到的金額。塞爾比自己的評語是：「這不違法，但看看它造成的效果。」
台灣的大樂透，也寫過類似的一行
台灣也出現過滾降式的條款。高雄大學應用數學系的黃文璋 2005 年在《數學傳播》分析大樂透時，引用了當時發行機構北銀的特別約定：「惟為降低賭風，當頭獎獎金連續八期無人獲得時，其累積之獎金將併入次期之總獎金中。」文中也算出，大樂透 49 選 6 的頭獎機率為 1/13,983,816，總獎金約占每期總投注金額的 57%。這條規定今天是否仍然有效，要以台灣彩券公司的現行辦法為準。
分析任何「加碼」「保底」「滿額回饋」的規則，都可以拿 Cash WinFall 當檢查表：在什麼條件下期望值大於成本、有沒有數量上限、誰最可能大量進場、發行者有沒有誘因裝作沒看見。本書第 9 章 Hoover 免費機票，是企業促銷把期望值送給顧客；第 11 章防疫保單，是保險公司把條件寫寬、全民一起套利；第 21 章 3G 頻譜拍賣，則是規則設計本身值 225 億英鎊。第 4 篇三章談的都是合約裡的一行字，下一篇從第 15 章 Bowie 債券開始，看那些不在帳上、卻能拿來借錢的權利。
內行人看規則套利的三個問題
期望值什麼時候翻正？
把機率表和獎金表攤開，逐項相乘。找出讓期望值大於成本的條件，並確認這個條件能不能事先預測。
規模有沒有上限？
獎金池固定，進場的人越多，每張分得越少。套利的上限，取決於競爭者的人數和執行成本。
訂規則的人為什麼不改？
如果發行者也從中賺錢，漏洞會開很久；一旦上了報紙，規則可能在一夜之間改掉。
Cash WinFall 的規則從頭到尾都公開。差別只在於，有人把它當成彩券，有人把它當成一張報酬率表。
本章學習設計
- 能用期望值逐項計算彩券或促銷規則的價值，判斷何時出現正期望值。
- 能說明彩金稀釋、頭獎風險與執行成本如何限制套利的規模與報酬。
- 能用機率忽略與動機性推理，解釋一般玩家與規則設計者各自的盲點。
- 期望值Expected Value, EV
- 各種結果的機率乘上金額後加總，代表重複多次後每次的平均結果。
- 滾降Roll-down
- 頭獎累積到門檻仍無人中時，把頭獎獎金改分給較低獎項的規則。
- 套利Arbitrage
- 利用價格或規則的落差，以有限風險取得報酬。本章的套利仍有頭獎被中、獎金被稀釋的風險。
- 彩金稀釋Prize Dilution
- 獎金總額固定時，參與者或中獎注數增加，使每注分得的金額下降。
- 動機性推理Motivated Reasoning
- 人在判斷時，傾向接受對自己有利的結論、忽略不利的證據。
塞爾比在密西根的前三次下注：第一次投入 2,200 美元，賠 50 美元；第二次投入 3,400 美元，贏回 6,300 美元；第三次投入 8,000 美元，贏回 15,700 美元。
（1）以投入金額計，三次的報酬率各是多少？（2）HuffPost 形容第二次是「46% 的利潤率」，這個數字是怎麼算的？和（1）的差別在哪裡？（3）用理論透鏡②的簡化式，若每張小獎期望值為 0.69 美元、滾降獎金池為 230 萬美元，當期售出多少張時剛好打平？
參考解答
（1）第一次 −50 ÷ 2,200 ≈ −2.3%；第二次（6,300 − 3,400）÷ 3,400 ≈ 85.3%；第三次（15,700 − 8,000）÷ 8,000 ≈ 96.3%。（2）46% 是用獲利 2,900 除以中獎金額 6,300，屬於「利潤率」；以投入計的報酬率是 85.3%。同一筆交易，分母不同，數字差了將近一倍，看報導時要先問分母是什麼。（3）打平時 0.69 + 230 萬 ÷ N ＝ 2，N ＝ 230 萬 ÷ 1.31 ≈ 176 萬張。獎金池越大，能容納的套利者越多。
- 監察長認定「沒有任何人中獎的機率受影響」。如果你是一位只在滾降期買 10 張的一般玩家，大戶進場對你有沒有影響？請用彩金稀釋說明。
- 州政府從大戶的購票中收到約 1,600 萬美元。彩券局「知情而不改」，是失職，還是合理的營收決策？請各舉一個理由。
- 如果要保留滾降的刺激感、又不讓大戶套利，你會怎麼改規則？例如設定每人購買上限、隨機門檻，或改變分配方式。
全班分三組，拿角色卡在同一期滾降中各自決定買多少張。教師用理論透鏡②的算式公布當期期望值，看各組總張數一多，報酬怎麼消失。
Random Strategies
資金 60 萬美元，人手少，印彩券時間有限。目標：報酬最大，必要時考慮自己把獎金池推過門檻。
GS Investment Strategies
每期固定買 31.2 萬張，成員看重穩定。目標：不賠錢，避免和別人搶同一期。
州彩券局
遊戲每年帶來千萬美元級利潤，媒體開始追問。目標：保住營收，又不被批評偏袒大戶。
參考資料
- Jason Fagone，The Lottery Hackers（HuffPost Highline，2018/3/1；塞爾比原話、密西根與麻州下注金額、31.2 萬張、2,700 萬與 775 萬美元、監察長報告引文）
- The Boston Globe，A lottery game with a windfall for a knowing few（2011/7/30；遊戲規則、獎金區間、史騰伯格談話、1,180 萬美元利潤、店家佣金）
- Andrea Estes，Lottery officials helped high rollers see windfalls（The Boston Globe，2011/10/16，PDF 轉載；塞爾比原話、2010 年 8 月 MIT 團隊購票、彩券局損失、店家停權）
- 麻州財政部，Comment on Report by Office of the Inspector General Re: Massachusetts State Lottery Cash WinFall Game（2012；監察長主要發現摘要、財政部回應）
- The Tech，MIT 團隊報導（2012/8/1；下注 1,700–1,800 萬美元、監察長估計 350 萬美元、2005 年首次下注）；同日監察長報告報導
- WBUR（美聯社），Lottery Cash WinFall report（2012/7/31；購票約 4,000 萬、中獎約 4,800 萬美元）
- UPI，Report: Mass. lottery game's flaw ignored（2012/7/31；彩券局主管電子郵件）
- Adam Kucharski，How a Group of MIT Students Gamed the Massachusetts State Lottery（The Atlantic，2016/2/23，西方學院課程網頁轉載；滾降規則、每 2 美元 1.20 美元獎金、至少 2.30 美元）
- 黃文璋，〈瘋狂大樂透〉，《數學傳播》29 卷 1 期（2005）
本章為教學解說，不構成投資或投注建議。監察長報告原文未能直接取得，報告引文轉引自 HuffPost Highline、《大西洋》月刊、UPI 與麻州財政部回應文件。理論透鏡的滾降獎金為依報導區間設定的教學假設，中獎機率依 46 選 6 組合數計算；理論透鏡②的簡化式忽略當期銷售對獎金池的挹注，只用來說明方向。外國人名譯名為本章暫定。韓千山，輔仁大學金融與國際企業學系教授，CFA、CFP。